归谬法的例子

归谬法

归谬法（Reductio ad absurdum），又叫背理法 ，是一种论证方式
，它首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立） ，然后推理出明显矛盾的结果
，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似 ，差别在于反证法只限于推理出逻辑上矛盾的结果
，归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果 。基本定义

反证法常称作Reductio ad absurdum ，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“? ει? το αδυνατον παγωγη ”
，阿基米德经常使用它
。

逻辑原理

原理

归谬法

很多教科书中提到反证法时，只简单地讲了反证法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同。但是实际的操作过程还用到了另一个原理 ，

原命题和原命题的否定是对立的存在：原命题为真
，则原命题的否定为假，原命题为假 ，则原命题的否定为真 。这一点可以从集合论的角度理解
。

操作过程

欲证明：原命题：p=>q为真

先对原命题的结论进行否定
，

从这个否定的结论出发，推出矛盾 ，

从而该命题的否定为真：非q=>非p为真

再利用原命题和逆否命题的真假性一致
，

误区

否命题与命题的否定是两个不同的概念

命题的否定只针对原命题的结论进行否定。

原命题：p=>q

否命题：非p=>非q

命题的否定：p=>非q

原命题与否命题的真假性没有必然联系，但原命题和原命题的否定却是对立的存在 ，一个为真另一个必然为假 。

详细解释

反证法是“间接证明法
”一类
，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论 ，经过推理导出矛盾，从而证明原命题
。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论
，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手 ，把命题结论的否定当作条件
，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论 ，从而使命题获得了证明 。

归谬法

在应用反证法证题时
，一定要用到“反设 ”，否则就不是反证法。用反证法证题时 ，如果欲证明的命题的方面情况只有一种
，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法
”；如果结论的方面情况有多种 ，那么必须将所有的反面情况一一驳倒
，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”
。

证明

反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假 ”的结论 ，

某命题：若A则B，

1.当A为真
，B为真，则A→B为真 ，

2.当A为真
，B为假，则A→B为假 ，

3.当A为假
，B为真，则A→B为真 ，

4.当A为假
，B为假，则A→B为真 ，

∴一个命题与其逆否命题同真假

即关于〉=〈的问题：

大于 -〉反义：小于或等于

都大于-〉反义：至少有一个不大于

小于 -〉反义：大于或等于

都小于-〉反义：至少有一个不小于

即反证法是正确的。

与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A

假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.

但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.

使用

反证法在数学中经常运用 。当论题从正面不容易或不能得到证明时
，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"
。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一
”。一般来讲 ，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆 。

反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”
。即从否定结论开始
，得出矛盾，达到新的否定 ，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定 ”。

欲证“若P则Q”为真命题
，从相反结论出发，得出矛盾 ，从而原命题为真命题 。

证明步骤

（1）反设：假设命题结论不成立
，即假设结论的反面成立
。

（2）归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。

（3）结论：由矛盾判断假设不成立 ，从而肯定命题的结论正确 。

适用题型

（1）唯一性命题

（2）否定性题

（3）“至多
”
，“至少”

（4）必然性命题

（5）起始性命题

（6）无限性命题

（7）不等式证明

范例

两个反证法的范例

证明：素数有无穷多个
。

这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，

假设命题不真 ，则只有有限多个素数
，

此时，令N=a1*a2*……*an+1,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子 ，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数
，但是显然有N>ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明 ，

证明：根号二是无理数 。

假设命题不真
，则√2为有理数，设√2=n/m ，即最简分数的形式。

则n∧2/m∧2=2
，

所以n∧2为偶数，则n为偶数 ，

则2m∧2=4x∧2

所以m∧2=2x∧2

则m也为偶数

所以m和n有公因数2
，

所以√2为无理数！

这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧 ，也体现出数学的概括性和美丽

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知识点1：一元二次方程的基本概念

1．一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2.

2．一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4 ，常数项是-2.

3．一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7.

4．把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0.

知识点2：直角坐标系与点的位置

1．直角坐标系中
，点A（3，0）在y轴上
。

2．直角坐标系中 ，x轴上的任意点的横坐标为0.

3．直角坐标系中
，点A（1，1）在第一象限.

4．直角坐标系中 ，点A（-2
，3）在第四象限.

5．直角坐标系中，点A（-2 ，1）在第二象限.

知识点3：已知自变量的值求函数值

1．当x=2时,函数y= 的值为1.

2．当x=3时,函数y= 的值为1.

3．当x=-1时,函数y= 的值为1.

知识点4：基本函数的概念及性质

1．函数y=-8x是正比例函数.

2．函数y=4x+1是一次函数.

3．函数 是反比例函数.

4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下.

5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.

6．抛物线 的顶点坐标是(1,2).

7．反比例函数 的图象在第一、三象限.

知识点5：数据的平均数中位数与众数

1．数据13,10,12,8,7的平均数是10.

2．数据3,4,2,4,4的众数是4.

3．数据1
，2，3 ，4
，5的中位数是3.

知识点6：特殊三角函数值

1．cos30°= .

2．sin260°+ cos260°= 1.

3．2sin30°+ tan45°= 2.

4．tan45°= 1.

5．cos60°+ sin30°= 1.

知识点7：圆的基本性质

1．半圆或直径所对的圆周角是直角.

2．任意一个三角形一定有一个外接圆.

3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹 ，是以定点为圆心，定长为半径的圆.

4．在同圆或等圆中
，相等的圆心角所对的弧相等.

5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

6．同圆或等圆的半径相等.

7．过三个点一定可以作一个圆.

8．长度相等的两条弧是等弧.

9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

知识点8：直线与圆的位置关系

1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.

2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.

3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.

4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.

5．垂直于半径的直线必为圆的切线.

6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.

7．垂直于半径的直线是圆的切线.

8．圆的切线垂直于过切点的半径.

知识点9：圆与圆的位置关系

1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.

2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.

4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.

5．相切两圆的连心线必过切点.

知识点10：正多边形基本性质

1．正六边形的中心角为60°.

2．矩形是正多边形.

3．正多边形都是轴对称图形.

4．正多边形都是中心对称图形.